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北京大学2024强基计划校测数学笔试试题评析

2024-07-02 16:48|编辑: 常老师|阅读: 149

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2024北京大学校测已经结束,本文整理了北京大学2024年强基计划校测笔试数学试题评析,供考生参考。

2024北京大学校测已经结束,本文整理了北京大学2024年强基计划校测笔试数学试题评析,供考生参考。

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北京大学2024强基计划校测数学笔试试题评析

1、本题考察的是高斯取整与幂次同余的处理。题目比较常规,只要注意到19与20的相邻关系,容易将高斯取整写成普通的计算式。剩下就只需要对幂次进行常规的同余计算,利用数论倒数可能会更方便计算。为联赛一试难度,如果熟练的话应该几分钟内能算出正确结果。

2、本题考察的是三角函数的特殊值计算。看到三次方容易联想到利用三倍角公式进行化简,这个过程可能会需要三角计算中常用的积化和差与特殊角度的三角函数值计算。因为题目常规,所以处理方法也比较多。为联赛一试难度,可能需要部分计算量,但题目用时在合理范围内。

3、本题考察的是基本组合计数。因为对于四个数乘积的范围限制比较小,所以很容易给出3、2、1中个数的可能组合,而后便对每种情况分别计数即可。本题难度较小,所需时间也很少,难度介于高考和联赛一试之间。

4、本题考察的是加法中数字和的变化规律。如果知道进位次数与数字和变化的关系,就容易根据5的倍数条件推导出最少的进位次数。而因为前后只加了1,所以能发生进位的情况仅有一种,从而容易算出最小的n。本题所需时间很短,但需要至少有部分竞赛训练,难度为联赛一试难度。

5、本题考察的是三角形基本量的理解。结合题目条件容易看出三角形ABC是个钝角三角形,点P就是三角形的外心。从而题目所求就是点D关于三角形ABC外接圆的圆幂,直接应用圆幂定理便可求出。为联赛一试难度,题目所需时间较少,和上题一样可以在一分钟内做出,需要一定的平面几何基础练习。

6、本题考察的是解析几何中椭圆几何定义与解三角形。利用椭圆的几何定义,容易用椭圆中的a和c将三角形三边长度写出,而后结合离心率e和角度信息,就能算出a和c及三角形面积。难度介于高考和联赛一试难度,需要一点计算量,但所需时间在强基考试常规范围内。

7、本题考察三角形中的三角函数处理,主要是对于三角之和为180度的处理,为联赛一试难度。

8、思路是根据系数,把cos B和cos C放在一起考虑,利用积化和差不等式放缩为只含A的式子。

9、本题考察的是初等数论中的整除。关键在于理解题目中的“分解”,然后注意到作为除数最大的是就是前三位,然后利用四位数与三位数的关系便可简单得出n的信息。当然除此之外,容易构造n=2550在C的范围里。此题为联赛一试难度,用时较短。

10、本题考察的是组合计数中的不相邻问题。暂时没想到比较好的处理方法,感觉可能考虑相邻情况后,利用容斥原理和排除法,也许能相对简单处理。

11、本题考察的是特殊函数方程的零点个数问题。对于本题来说,重点在于发现左端函数的系数和恰好是等式右端,因此可能需要利用不等式放缩。如若能找到特殊点-1,0,1,那么就很容易发现上述的放缩。是联赛一试难度,所需时间是不太稳定的,如果找到特殊点会做的较快;但若没有,可能会耗费很多时间,因此在强基中并不容易。

12、本题考察的是三角形五心的基础应用。关键在于意识到外心与三顶点连线与三边的夹角都是具体可算的,所以较快能得到角BC的值从而得到角A的度数。为联赛一试难度,难度偏低,可以较快做出。

13、本题考察的是与三角形相关的不等式计算,容易看出所求式子与余弦定理很接近,因此用余弦定理很容易处理。而对于会出现的a^2,就容易联想到利用面积公式再进行转化。最后就是关于三角函数的不等式放缩与极限情况的理解处理。为联赛一试难度,难度适中但不容易,用对方法的话会较快做出,否则可能会稍微费时。

14、本题考察的是解方程个数问题。有两个关键点,一个是通过三角函数的正负关系进一步缩小x范围,另一个是注意到特殊点pi/2。对于特殊点前后,分别利用单调性与导数分析是否还有解的可能与个数。为联赛一试难度,对于题目用时属于比较合理的范围,不会太花时间。

15、本题考察的是数列求和问题。本题的递推公式带有整数部分与小数部分,看起来比较迷惑性或者说有点吓人,但其实沉下心来算几项就很容易找到规律。关键是明白如何写出一个无理数的小数部分。为联赛一试难度,题目相对简单,属于用时较少方法比较标准的题目。但若没接触过竞赛,可能会比较困难或被吓唬住。

16、本题考察的是立体几何理解与不等式应用。首先要理解题目含义,可以粗略理解为合为1的三组数,每次从一组数中取一后乘起来。通过这样的理解方式很容易得到4个的举例。而后更关键的是从几何直观上想到处于对角的两个长方体体积和不会低于1/4,所以给出了确切的上界。上面的论述由不等式实现。为联赛一试难度,作为选择题而言可能不会需要太多时间,但想清楚全部并不容易。

17、本题考察的是带高斯函数的方程问题。关键点在于想到要对x整数部分做不等式估计,而这个想法的出发点就是方程是二次方程,整数部分在一次项中出现,所以整体不繁杂。得到整数部分的全部可能后依次验证便知结果。为联赛一试难度,需要一部分的计算,可能在强基题目中会有点时间紧张。思路上并不困难,比较常规。

18、本题考察的是三角形角分线定理,另一关键点是看出等腰三角形,而后我们可以利用余弦定理或勾股定理来得到一组关系式,从而通过解方程得到答案,算得答案为10.5。为联赛一试难度,难度适中并不容易,主要难度在于解方程时可能需要一点尝试和胆量。

19、本题考察的是基本数列理解与同余计算。只需要看出数列规律并估计2024的项数前后分布,便能得知结果。为高考难度,只要知道定义就能做。

20、本题考察的是三角形边比例关系的问题,关键点是考虑到其实本题关注的地方在于AD2与DC x DB的比是大小范围估计。对于边比例相关的问题,特别是在三角形中很容易想到,可能要用到正弦定理去处理,那在想到这个点以后,那另一个关键点就是在处理这个比例式过程中,可能会要用到三角函数的一些不等式范围估计,那这里主要是用和差化积来进行不等式放缩。本题难度是联赛一试难度,用时应该较短,在这个合理范围,也就是说一小时考20道题,基本上它是可以在三分钟内做出来的。

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