高考数学勾股定理的应用

　　勾股定理在高中有一个口诀叫“勾三股四弦五”。什么意思呢?也就是说勾股定理的学习按着3:4:5这个比例计算的。勾指的是直角三角形直角边中短的那条，股市直角边稍微长的那条，弦就不说了，那就是斜边了。这个定义具体该怎么用呢?

　　一、经典证明方法细讲

　　方法一：

　　作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.

　　∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,

　　∴∠EGF=∠BED，

　　∵∠EGF+∠GEF=90°，

　　∴∠BED+∠GEF=90°，

　　∴∠BEG=180°―90°=90°

　　又∵AB=BE=EG=GA=c，

　　∴ABEG是一个边长为c的正方形.

　　∴∠ABC+∠CBE=90°

　　∵RtΔABC≌RtΔEBD,

　　∴∠ABC=∠EBD.

　　∴∠EBD+∠CBE=90°

　　即∠CBD=90°

　　又∵∠BDE=90°，∠BCP=90°，

　　BC=BD=a.

　　∴BDPC是一个边长为a的正方形.

　　同理，HPFG是一个边长为b的正方形.

　　设多边形GHCBE的面积为S，则

　　BDPC的面积也为S，HPFG的面积也为S由此可推出：a^2+b^2=c^2

　　方法二

　　作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a)，斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.

　　分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，

　　∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，

　　∴FI=a，

　　∴G,I,J在同一直线上，

　　∵CJ=CF=a，CB=CD=c，

　　∠CJB=∠CFD=90°，

　　∴RtΔCJB≌RtΔCFD，

　　同理，RtΔABG≌RtΔADE，

　　∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE

　　∴∠ABG=∠BCJ,

　　∵∠BCJ+∠CBJ=90°,

　　∴∠ABG+∠CBJ=90°,

　　∵∠ABC=90°,

　　∴G,B,I,J在同一直线上，

　　所以a^2+b^2=c^2

　　二、勾股数的相关介绍

　　①观察3，4，5;5，12，13;7，24，25;…发现这些勾股数都是奇数，且从3起就没有间断过。计算0.5(9-1)，0.5(9+1)与0.5(25-1)，0.5(25+1)，并根据你发现的规律写出分别能表示7，24，25的股和弦的算式。

　　②根据①的规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。

　　③继续观察4，3，5;6，8，10;8，15，17;…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用上述类似的探索方法，之间用m的代数式来表示它们的股合弦。]在一个三角形中，两条边的平方和等于另一条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。

　　三、勾股定理的命题方向

　　命题1：以已知线段为边，求作一等边三角形。

　　命题2：求以已知点为端点，作一线段与已知线段相等。

　　命题3：已知大小两线段，求在大线段上截取一线段与小线段相等。

　　命题4：两三角形的两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等。

　　命题5：等腰三角形两底角相等。