2024北京高考进入倒计时，北京高考在线本文整理了高中数学中补集及综合应用必考题型解析，快来查看练习吧~

一、知识点　全集与补集

1．全集

(1)概念：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．

(2)记法：通常记作U．

2．补集

[点拨]　1.补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．

2．符号∁_UA有三层意思

(1)A是U的子集，即A⊆U；

(2)∁_UA表示一个集合，且(∁_UA)⊆U；

(3)∁_UA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即∁_UA＝{x|x∈U，且x∉A}．

二、经典练习题

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)数集问题的全集一定是R.(　　)

(2)集合∁_BC与∁_AC相等．(　　)

(3)A∩(∁_UA)＝∅.(　　)

(4)一个集合的补集中一定含有元素．(　　)

答案：　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

2．设集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4}，则∁_UA＝(　　)

A．∅B．{1，3，5}

C．{2，4}D．{0，1，3，5}

D

3．若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，则集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的补集∁_UA为(　　)

A．{x∈R|0<x<2}B．{x∈R|0≤x<2}

C．{x∈R|0<x≤2}D．{x∈R|0≤x≤2}

C　[借助数轴(下图)易得∁_UA＝{x∈R|0<x≤2}．]

三、经典题型探究：

题型一　补集的简单运算

(1)设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，则∁_UM＝(　　)

A．UB．{1，3，5}

C．{3，5，6}D．{2，4，6}

(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁_UA＝________．

解析：　(1)因为U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，由补集的定义，可知∁_UM＝{3，5，6}．

(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，

如图所示．由补集定义可得∁_UA＝{x|x<－3，或x＝5}．

答案：　(1)C　(2){x|x<－3，或x＝5}

求补集的原则和方法

(1)一个基本原则

求给定集合A的补集，从全集U中去掉属于集合A的元素后，由所有剩下的元素组成的集合即为A的补集．

(2)两种求解方法

①若所给的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍．

②若所给的集合是用列举法表示，则用Venn图求解．

[对点训练]

1．已知全集U＝R，集合M＝{x|－1≤x≤3}，则∁_UM＝(　　)

A．{x|－1<x<3}B．{x|－1≤x≤3}

C．{x|x<－1，或x>3}D．{x|x≤－1，或x≥3}

C　[∵集合M＝{x|－1≤x≤3}，∴∁_UM＝{x|x<－1，或x>3}，故选C.]

2．设全集U＝{x|－5≤x<－2，或2<x≤5，x∈Z}，A＝{x|x²－2x－15＝0}，B＝{－3，3，4}，则∁_UA＝________，∁_UB＝________．

解析：　法一：在集合U中，

∵x∈Z，则x的值为－5，－4，－3，3，4，5，

∴U＝{－5，－4，－3，3，4，5}．

又A＝{x|x²－2x－15＝0}＝{－3，5}，

∴∁_UA＝{－5，－4，3，4}，∁_UB＝{－5，－4，5}．

法二：可用Venn图表示如图．

则∁_UA＝{－5，－4，3，4}，

∁_UB＝{－5，－4，5}．

答案：　{－5，－4，3，4}　{－5，－4，5}

题型二　集合交、并、补的综合运算

(1)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩(∁_UB)＝(　　)

A．{2，5}B．{3，6}

C．{2，5，6}D．{2，3，5，6，8}

(2)已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，P＝，求A∩B，(∁_UB)∪P，(A∩B)∩(∁_UP).

解析：　(1)因为U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，B＝{1，3，4，6，7}，所以∁_UB＝{2，5，8}．又A＝{2，3，5，6}，所以A∩(∁_UB)＝{2，5}．

(2)将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示．

因为A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，所以A∩B＝{x|－1<x<2}，∁_UB＝{x|x≤－1，或x>3}．

又P＝，所以(∁_UB)∪P

＝

又∁_UP＝，所以(A∩B)∩(∁_UP)＝{x|－1<x<2}∩＝{x|0<x<2}．

答案：　(1)A

求集合交、并、补运算的方法

[对点训练]

1．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁_RS)∪T等于(　　)

A．{x|－2<x≤1}B．{x|x≤－4}

C．{x|x≤1}D．{x|x≥1}

C　[因为S＝{x|x>－2}，所以∁_RS＝{x|x≤－2}．

而T＝{x|－4≤x≤1}，

所以(∁_RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．]

2．已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4}的子集，且∁_U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则A∩(∁_UB)等于(　　)

A．{3}B．{4}

C．{3，4} D．∅

A　[∵U＝{1，2，3，4}，∁_U(A∪B)＝{4}，

∴A∪B＝{1，2，3}．又∵B＝{1，2}，

∴{3}⊆A⊆{1，2，3}．

又∁_UB＝{3，4}，∴A∩(∁_UB)＝{3}．]

题型三　与补集有关的参数范围问题(应用型)

设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁_UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围．

解析：　方法一(直接法)：由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得∁_UA＝{x|x<－m}．

因为B＝{x|－2<x<4}，(∁_UA)∩B＝∅，在数轴上表示集合B，∁_UA如图

所以－m≤－2，即m≥2，

所以m的取值范围是m≥2.

方法二　(集合间的关系)：由(∁_UA)∩B＝∅可知B⊆A，又B＝{x|－2<x<4}，A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，

结合数轴：

得－m≤－2，即m≥2.

由集合的补集求解参数的方法

(1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解．

(2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解．

[对点训练]

1．已知全集U＝{3，4，a²＋2a＋3}，集合A＝{3，4}，∁_UA＝{6}，则实数a的值为________．

解析：　由题意得a²＋2a＋3＝6，解得a＝－3或a＝1，经检验均符合题意．

答案：　－3或1

2．(变条件)本例将条件“(∁_UA)∩B＝∅”改为“(∁_UA)∩B≠∅”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？

解析：　由已知得A＝{x|x≥－m}，

所以∁_UA＝{x|x<－m}，

又(∁_UA)∩B≠∅，

所以－m>－2，解得m<2.

故m的取值范围为{m|m<2}．

3．(变条件)本例将条件“(∁_UA)∩B＝∅”改为“(∁_UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？

解析：　由已知A＝{x|x≥－m}，∁_UB＝{x|x≤－2或x≥4}．

又(∁_UB)∪A＝R，

所以－m≤－2，解得m≥2.

故m的取值范围为{m|m≥2}．