集合问题无论在哪一省份的高考试卷中,都是必考题。虽然是相对难度较低的知识点,但正因其考察基础而非拔高,我们在复习过程中才更要全面周到、扫除死角。北京高考在线整理了4道难度不同的经典集合问题例题,一起来看吧。
例1
已知集合A={x|x2+2x+a≤0},B={x|a≤x≤4a-9},若A,B中至少有一个不是空集,则a的取值范围是________.
解析:若A,B全为空集,则实数a满足4-4a<0且a>4a-9,
即1<3,则满足题意的a的取值范围为(-∞,1]∪[3,+∞).< p=""> <3,则满足题意的a的取值范围为(-∞,1]∪[3,+∞).<>
答案:(-∞,1]∪[3,+∞)
例2
设全集I=R,已知集合M={x|(x+3)²≤0},N={x|x²+x-6=0}.
(1)求(∁IM)∩N;
(2)记集合A=(∁IM)∩N,已知集合B={x|a-1≤x≤5-a,a∈R},若B∪A=A,求实数a的取值范围.
解:(1)∵M={x|(x+3)2≤0}={-3},
N={x|x2+x-6=0}={-3,2},
∴∁IM={x|x∈R且x≠-3},
∴(∁IM)∩N={2}.
(2)A=(∁IM)∩N={2},
∵A∪B=A,
∴B⊆A,
∴B=∅或B={2},
当B=∅时,a-1>5-a,
∴a>3;
当B={2}时,解得a=3,
综上所述,所求a的取值范围为{a|a≥3}.
例3
设集合Sn={1,2,3,…,n},若X⊆Sn,把X的所有元素的乘积称为X的容量(若X中只有一个元素,则该元素的数值即为它的容量,规定空集的容量为0).若X的容量为奇(偶)数,则称X为Sn的奇(偶)子集.则S4的所有奇子集的容量之和为________.
解析:∵S4={1,2,3,4},
∴X=∅,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}.
其中是奇子集的为X={1},{3},{1,3},其容量分别为1,3,3,所以S4的所有奇子集的容量之和为7.
答案:7
例4
设A是自然数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k²∉A,且√k∉A,那么k是A的一个“酷元”,给定S={x∈N|y=lg(36-x²)},设M⊆S,且集合M中的两个元素都是“酷元”,那么这样的集合M有( )
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
解析:选C 由36-x2>0,解得-6
依题意,可知若k是集合M的“酷元”是指k²与√k都不属于集合M.显然k=0,1都不是“酷元”.
若k=2,则k²=4;若k=4,则√k=2.所以2与4不同时在集合M中,才能成为“酷元”.
显然3与5都是集合S中的“酷元”.
综上,若集合M中的两个元素都是“酷元”,则这两个元素的选择可分为两类:
(1)只选3与5,即M={3,5};
(2)从3与5中任选一个,从2与4中任选一个,即M={3,2}或{3,4}或{5,2}或{5,4}.
所以满足条件的集合M共有5个。
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