6月29日,北京大学中学生数学奖个人能力挑战赛举行。本次考试为北京大学中学生数学夏令营初赛,成绩优异者可获得参营资格。
据悉,考试共4题,每题30分,满分120分,考试时间为180分钟。考试形式与试题格式高中数学联赛二试类似,难度与简单年份的二试相当。
下面我们就对试题进行逐题评析。
第一题:几何
题目希望我们证明两个内心,两个旁心四点共线。证明四点共线,我们朴素的想法是先证明一组三点共线,再得到另一组,从而综合得出结论。
由内心和旁心之间的联系,我们很容易联想到鸡爪关系(见附录)。由于内心和旁心对应的三角形不是同一个,但有一条公共边BC,因此我们可以做出三角形BCD的内心来将两者联系起来。从而找到一组边的关系。接下来的工作就是耐心的倒角了,先证明一个一组三点共线,另一组同理可得。
第一题主要考察了三角形内心和旁心之间的关系,如果同学们在做题前对此有所了解,知道鸡爪关系的话,就可以很容易得到一组边的关系。在证明一个三点共线这个主要涉及角的关系的证明中,边的关系会给我们很大的作用。
整道题难度比较适中,属于二试较简单年份的几何题难度。
附:鸡爪关系:三角形一内角的平分线与其外接圆的交点到其它两顶点的距离及到内心与旁心的距离相等。(证明略)
第二题:组合
这道题是一道组合中的染色问题。对于这种问题,我们一般是试图先给出一个上限,之后给出一个构造,分两部分来解决。
首先用2*2的小方格不重合的来尝试铺满整个平面,我们发现当m, n 中有一个是偶数的时候很容易将上限与构造相匹配起来。因此本道题的难度就在于奇数棋盘。
在考虑奇数棋盘的时候,我们首先会想能否使用一奇一偶的结论,因为我们的构造是一样的。对于我们的构造可以发现,我们始终是以两列两行进行的增长,因此采用数学归纳法也就顺理成章了。
整道题的思考比较平滑,在构造这个部分几乎不会有难点。因此是一道不错的组合练手题,可以作为联赛2试组合板块的基础练习题。
第三题:数论
这道数论题主要考察同学们是否了解升幂引理(LTE引理)。如果了解,这道题容易得到n的形式。如果不知道,至少可以得到n是偶数时无解的结论。
本题主要考察同学们对于初等数论学习的深度,因为LTE引理并不在同学们准备范围内。本题难度对于不同同学的难度感觉可能不同。
第四题:不等式
本题解题关键在于找到sinnx的绝对值小于nsinx的绝对值。通过观察不等式,我们可以自然的想到这个证明的关键,其余部分就是根据三角函数的性质进行适当的放缩了。
这是一道结合了三角函数和不等式的题目,考察了同学们对两部分内容的熟悉程度。
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